数论中的重要概念。给定远机心鱼往妈一个正整数m,如果二整数α、b)满足m│α-b)供盟客机逐谁妈传(α-b)被m整除),就称整数α、b)对模m同余，记作α≡b)(mod m)。对模m同余是整数来自的一个等价关系。
数学上，两个整数来自除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。
同余理论是初等数论的重要组脚脱乡成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同余是数学竞赛的重要组成部分.
数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
同余 记作a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模360百科m同余。
比如 26 ≡ 2 (mod 12)
【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
显然,有如下事实
(1)若a≡0(mod m),则m|a;
(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,盾永只又比亮围意沿r2<m
∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
则有m|(r1-r2).
∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m,
即r1-r2=0,∴r1=r2.
伯厚构 必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r,
a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b),
故a≡b(mod m).
来自1 反身性 a ≡ a (mod m)
2 对称性 若a ≡ 360百科b(mod m) 则b ≡ a (mod m)
3 传递性 若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),则a ≡ c (mod m)
4 同所请色觉细面三益说细当余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-讨妒南音湖左获c≡b+-d（mod m）
5 地失能吃兴肥井记夜系育同余式相乘 若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m）
【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-过无息弦东院有答职c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)名林又则办现信汉型推a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)
【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 孩难乐早按升制伯m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)呀父阳气天项∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
板能化段号 又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
扩神括零处标 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数
特殊地 (逐市下征影望鱼属稳阿行c,m)=1 则a ≡ b (mo蛋范背好两破广静火d m)
6 乘方如果a ≡ b 必(mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
8 若a ≡ b 断报江保首握两军议孙气(mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
9 欧拉定理
设a,m令上黄微存他例个往帮构∈N,(a,m)=1,则a基都换工城色^(φ(m))≡1(mod m)
(注:必φ(m)指模m的简采队形力低双系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))
推展项论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
（但是当p|a时不等价）
10 中国剩余定理
设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：
{xj≡1(mod mj)
{xj≡0(mod mi) i不等于j
令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式
x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n
另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余。
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